[수학] | 공리적 집합론과 체

개요

사원수까지 달리기 위해 기초부터 차근차근히 짚어가봅시다.

 

 

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소박한 집합론(Naive Set Theory)

공리적 집합론을 알기 전에 소박한 집합론을 먼저 알아야합니다.

수학 용어가 몇개는 진짜 때깔나면서도 몇개는 참 짜치는데, 소박한 집합론도 그 중 하나입니다.

 

이 소박한 집합론이란 무엇이냐 하면 우리가 고등학교 까지의 의무 교육을 거치면 배우는 집합. 딱 그것입니다.

저도 이 이상의 집합에 대해선 모르기때문에 간단하게 소박한 집합론이 무엇인지만 짚고갑시다.

 

소박한 집합론은 집합을 단순한 대상들의 모임으로 이해하는 것을 말합니다.

...참 추상적이죠.

 

간단하게 어떠한 집합 \(A\) 에 원소 \(\{ a, b, c \cdots\}\)가 존재하며 어떠한 집합 \(B\) 에 집합 \(A\)의 원소가 모두 포함되어 있다면 집합 \(A\) 는 집합 \(B\) 의 부분 집합이다. 라고 정의? 할 수 있는 뭐 그런겁니다.

 

이 집합론의 집합들 사이엔 합집합\(\cup\), 교집합\(\cap\), 차집합\(-\) 등등을 연산 가능합니다.

 

근데 이 소박한 집합론엔 큰 오류가 존재합니다.

 

러셀의 역설

러셀의 역설은 소박한 집합론의 오류를 지적하는 역설입니다.

설명하자면...

집합 \(X\)를 다음과 같이 정의합니다.

\( X = \{ X\, | \,X \notin X \} \)

간단하게 집합 X는 집합 X를 원소로 포함하지 않는 모든 집합을 담은 집합이라는 뜻입니다.

 

이때 만약 X가 X에 포함 되어 있다면 (\(X \in X\))

-> X는 X를 원소로 포함하지 않는 집합이므로 거짓.

 

만약 X가 X에 포함 되어 있지 않다면 (\(X \notin X\))

-> X는 X를 원소로 포함하지 않는 집합이므로 X는 X를 원소로 포함해야 하므로 거짓. 

 

따라서, \(X \in X\) 던, \(X \notin X\) 던, 모순이 발생합니다.

고로 이를 보완하는 차원에서 저흰 공리적 집합론을 사용합니다.

 

 

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공리적 집합론(Axiomatic Set Theory)

공리

공리란, 명제중에서 증명할 필요가 없는, 항상 참(truth)로 간주되는 명제이다.

 

공리적 집합론이란?

저희는 집합의 성질을 참과 거짓으로 명확하게 구분해줄 수 있는 명제가 필요하고, 이를 공리라고 명명하여 사용합니다.

이 공리를 기반으로 대상을 구분하는 집합론을 공리적 집합론이라고 하죠.

공리적 집합론은 수가 가지는 연산에 대한 공리를 기반으로 수를 분류합니다.

 

이것을 용이하기 설명하기 위해선 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙, 항등원, 역원에 대해서 설명하고 가는게 좋습니다. 하나하나 짚어가긴 귀찮지만 간단하게 설명해보죠.

 

교환법칙

'교환법칙이 성립한다' 라는 것은 어떠한 이항 연산에 대하여 순서를 바꾸었을때 값이 같다는 것을 말합니다.

$$a \times b = b \times a$$

$$a + b = b + a$$

 

결합법칙

'결합법칙이 성립한다' 라는 것은 어떠한 이항 연산이 두 번 이상 진행될때 연산 순서를 바꾸어도 값이 같다는 것을 말합니다.

$$a \times (b \times c) = (a \times b) \times c$$

$$a + (b + c) = (a + b) + c$$

 

분배법칙

'분배법칙이 성립한다'는 것은 두 가지 다른 이항 연산이 있을 때, 하나의 연산이 다른 연산에 대해 분배될 수 있다는 것을 말합니다.

$$a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$$

 

항등원(Identity Element)

'항등원' 이라는 것은 어떠한 수 \(x\) 와 이항 연산을 했을때 그 결과값이 \(x\)로 동일한 값이 나오도록 하는 수를 의미합니다.

 

예를 들어 덧셈의 항등원은 '0'이고...

\(1 + 0 = 1\quad2+0=2\quad3+0=3\cdots\)

 

곱셉의 항등원은 '1'이죠.

\(1\times1=1\quad2\times1=2\quad3\times1=3\cdots\)

 

여기서 Identity라는 키워드를 보고 드디어 Quaternion.identity의 뜻을 깨달았습니다.

 

역원(Inverse Element)

'역원' 이라는 것은 어떠한 수 \(x\) 와 이항 연산을 했을때 그 결과값이 항등원로 값이 나오도록 하는 수를 의미합니다.

 

예를 들어 덧셈의 역원은 '반수' 이고... (여기서 반수란 어떠한 수와 부호가 반대되는 수를 뜻합니다)

\(a + (-a) = 0\)

 

곱셉의 역원은 '역수'죠.

\(a \times \frac{1}{x} = 1\) 

 

 

공리적 집합론의 집합을 위한 공리

소제목 차암 길죠...

 

어떠한 자연수들의 집합 \(\mathbb{N}\)이 있다고 해봅시다.

집합 \(\mathbb{N}\)의 원소들을 상대로 어떠한 이항 연산을 진행했을때 그 값 또한 \(\mathbb{N}\)의 원소로 나오는 것을 '집합 \(\mathbb{N}\)은 어떠한 이항 연산에 대하여 닫혀있다.' 라고 합니다.

 

갑자기 이 얘기를 왜 하느냐? 이게 집합을 위한 첫번째의 공리입니다.

 

1. 어떠한 이항 연산에 대하여 닫혀있어야 한다.

집합 \(\mathbb{N}\)의 임의의 원소를 가져와서 이항 연산을 진행해보면...

$$a + b = c$$

$$a - b = d$$

$$a \times b = e$$

$$a \div b = f$$

여기서 단 하나의 반례도 없이 성립한다고 할 수 있는 이항 연산은 덧셈과 곱셉 단 두개 뿐입니다.

혹시 모르니까 반례도 한번 말해볼까요?

 

집합 \(\mathbb{N}\)은 자연수들의 집합이니 음수는 포함되지 않습니다만 만약 \(a < b\)인 상황에서 결과값이 음수가 되어버리기 때문에 뺄셈은 닫혀있지 않으며 나눗셈도 나누어 떨어지지 않을때 결과값이 실수가 나오게 되어 나눗셈 또한 닫혀있지 않습니다.

 

 

2. 어떠한 이항 연산의 교환법칙이 성립해야한다.

집합 \(\mathbb{N}\)의 임의의 원소를 가져와서 계산해봅시다.

$$a + b = b + a$$

$$a - b \neq b - a$$

$$a \times b = b \times a$$

$$a \div b \neq b \div a$$

 

이번에도 덧셈과 곱셈은 성립합니다.

 

 

3. 어떠한 이항 연산의 결합법칙이 성립해야한다.

$$a + (b + c) = (a + b) + c$$

$$a - (b - c) \neq (a - b) - c$$

$$a \times (b \times c) = (a \times b) \times c$$

$$a \div (b \div c) \neq (a \div b) \div c$$

 

이번에도 덧셈과 곱셈은 성립하는군요. 이 모양새로 봤을때...

 

 

4,  5. 집합 R의 원소 a에 대해 항등원과 역원이 존재한다.

하나하나 늘여놓는것도 지루해서 그냥 두개 한번에 다하겠습니다.

사실 역원이 존재하면 항등원이 존재 할 수 밖에 없다고 생각했는데 이건 또 아니였네요.

 

아무튼 각각의 항등원과 역원은 이러합니다.

뺄셈과 나눗셈은 연산이 닫혀있지 않기 때문에 제외합니다.

$$a + \textbf{0} = a$$

$$a \times \textbf{1} = a$$

$$\vdots$$

$$a + \textbf{(-a)} = 0$$

$$a \times \frac{1}{a} = 1$$

 

여기서 덧셈의 역원인 \(-a\)는 자연수 집합 \(\mathbb{N}\) 을 벗어나므로 존재하지 않고 곱셈의 역원인 \(\frac{1}{x}\)은 \(x\)의 값이 1이 아닌 이상 실수가 되므로 1이 아니라면 존재하지 않습니다.

그러므로 자연수 집합 \(\mathbb{N}\) 은 이 공리가 성립하지 않죠.

 

그래서 저희는 실수 집합 \(\mathbb{R}\) 을 대신 사용할겁니다.

실수 집합 \(\mathbb{R}\) 에선 뺄셈과 나눗셈이 닫혀있지 않으며 역원 또한 존재합니다...만, 교환법칙 외 기타 등등이 성립하지 않는 것은 똑같습니다.

 

그리고 마지막 조건입니다.

 

6. 분배 법칙이 성립한다.

간단하게 하나하나 예시를 들어봅시다.

덧셈, 곱셈 : \(a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)\)

뺄셈, 곱셈 : \(a \times (b - c) = (a \times b) - (a \times c)\)

덧셈, 나눗셈 : \(a \div (b + c) \neq (a \div b) + (a \div c)\)

뺄셈, 나눗셈 : \(a \div (b - c) \neq (a \div b) - (a \div c)\)

 

... 고로 분배법칙이 성립하는 이항 연산은 덧셈과 곱셈 2개 뿐입니다.

굳이 값을 대입해보긴 귀찮으니까 대충 아 그렇구나 하고 넘기죠.

 

결론

결론적으로 이 공리는 총 11개 입니다.

 

1. 덧셈의 닫힘성

2. 덧셈의 교환법칙

3. 덧셈의 결합법칙

4. 덧셈의 항등원

5. 덧셈의 역원

 

6. 곱셈의 닫힘성

7. 곱셈의 교환법칙

8. 곱셈의 결합법칙

9. 곱셈의 항등원

10. 곱셈의 역원

 

11. 분배법칙

 

그리고 이 공리를 모두 만족하는 집합을 '체' 라고 부르며 이 공리 11개를 '체의 공리' 라고 부릅니다.

 

 

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그래서

그러면 공리를 만족하지 못하는 뺄셈과 나눗셈을 사용하지 못할까요?

아니죠. 뺄셈을 덧셈으로 표현하고 나눗셈을 곱셈으로 표현하면 됩니다.

 

마치는 말

생각보다 수학공부는 재밌는 편입니다. 도움이 되는게 뚜렷하지 않아서 그렇죠.

이거 정리하는데도 생각보다 오래걸리네요. 이만 마치겠습니다. 읽어주셔서 감사합니다.